vendredi 18 novembre 2011
samedi 19 mars 2011
Trapèze avec Casyopée
On se donne un triangle $OAB$ rectangle en $O$, isocèle et de cotés 6.
$C$ est un point du segment $[OA ]$ et $D$ est le point du segment $[AB]$ tel que $OCDB$ soit un trapèze.
En utilisant Casyopée, modélisez la situation et déterminez la position du point $C$ à partir de laquelle l’aire du trapèze $OCDB$ sera égale à la moitié de l’aire du triangle $OAB$ (pour les premières) ou égale à 10 pour les secondes.
Démontrez tous les résultats, en posant que $OC=x$.
Voir les copies des fenêtres: ICI
$C$ est un point du segment $[OA ]$ et $D$ est le point du segment $[AB]$ tel que $OCDB$ soit un trapèze.
En utilisant Casyopée, modélisez la situation et déterminez la position du point $C$ à partir de laquelle l’aire du trapèze $OCDB$ sera égale à la moitié de l’aire du triangle $OAB$ (pour les premières) ou égale à 10 pour les secondes.
Démontrez tous les résultats, en posant que $OC=x$.
Voir les copies des fenêtres: ICI
mardi 27 juillet 2010
dimanche 25 juillet 2010
dimanche 6 juin 2010
Chaines de Markov
Deux iles voisines A et B, isolées du monde, échangent une partie de leur population entre elles.
On note $\;a_n\;$ et $\;b_n\;$ les populations respectives des iles A et B, à l'issue de $\;n\;$ cycles d'échanges, $\; p_n=\begin{bmatrix}a_n\\ b_n \end{bmatrix}\;$ et $\;A\;$ la matrice de passage d'un état à son successeur: $\;p_{n+1}=A \times p_n \;$.
Le vecteur population initiale est $\; p_0=\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\;$
Exprimons le vecteur colonne $ \;p_n\;$ de la population des iles après $\;n\;$ cycles d'échanges en fonction du vecteur population initiale $ \;p_0\;$
$p_1=A \times p_0 $
$p_2=A \times p_1 $
$p_2=A \times A \times p_0 $
$p_2=A^2 \times p_0 $
$p_3=A \times p_2 $
$p_3=A \times A^2 \times p_0 $
$p_3=A^3 \times p_0 $
...
$p_n=A^n \times p_0 $
Si par exemple, les deux iles conservent 80 % de leur population et en exportent 20% sur l'autre ile à chaque cycle, la matrice $\;A\;$ se définit comme suit :
$ A= \begin{bmatrix}0.8 &0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix} $
Quelque soit la répartition initiale de la population sur chaque ile, il semble qu'un tel échange qui se répète, finisse par une stabilisation des populations, et l'égalisation de leur effectif sur chaque ile.
Prenons un autre exemple:
$ A= \begin{bmatrix}0.75 &0.15 \\ 0.25 & 0.85 \end{bmatrix} $
Ici, l'ile A conserve 75% de sa population et en envoie 25% sur l'ile B alors que B en conserve 85% et en envoie 15% sur A.
On peut regarder ce qui se passe à l'issue de 20 cycles avec différentes populations initiales :
On note $\;a_n\;$ et $\;b_n\;$ les populations respectives des iles A et B, à l'issue de $\;n\;$ cycles d'échanges, $\; p_n=\begin{bmatrix}a_n\\ b_n \end{bmatrix}\;$ et $\;A\;$ la matrice de passage d'un état à son successeur: $\;p_{n+1}=A \times p_n \;$.
Le vecteur population initiale est $\; p_0=\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\;$
Exprimons le vecteur colonne $ \;p_n\;$ de la population des iles après $\;n\;$ cycles d'échanges en fonction du vecteur population initiale $ \;p_0\;$
$p_1=A \times p_0 $
$p_2=A \times p_1 $
$p_2=A \times A \times p_0 $
$p_2=A^2 \times p_0 $
$p_3=A \times p_2 $
$p_3=A \times A^2 \times p_0 $
$p_3=A^3 \times p_0 $
...
$p_n=A^n \times p_0 $
Si par exemple, les deux iles conservent 80 % de leur population et en exportent 20% sur l'autre ile à chaque cycle, la matrice $\;A\;$ se définit comme suit :
$ A= \begin{bmatrix}0.8 &0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix} $
Quelque soit la répartition initiale de la population sur chaque ile, il semble qu'un tel échange qui se répète, finisse par une stabilisation des populations, et l'égalisation de leur effectif sur chaque ile.
Prenons un autre exemple:
$ A= \begin{bmatrix}0.75 &0.15 \\ 0.25 & 0.85 \end{bmatrix} $
Ici, l'ile A conserve 75% de sa population et en envoie 25% sur l'ile B alors que B en conserve 85% et en envoie 15% sur A.
On peut regarder ce qui se passe à l'issue de 20 cycles avec différentes populations initiales :
samedi 5 juin 2010
Le théorème de Morley
Une illustration dynamique du très beau théorème de Morley qui s'énonce comme suit:
Pour les démonstrations, c'est un peu plus sportif...
Les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral
Pour les démonstrations, c'est un peu plus sportif...
mardi 1 juin 2010
jeudi 27 mai 2010
Second degré GeoGebra et Javascript
$ \huge{{\color{blue}ax^2+bx+c=0 }}$
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mardi 18 mai 2010
dimanche 16 mai 2010
mardi 11 mai 2010
jeudi 6 mai 2010
lundi 3 mai 2010
Quatre amis se retrouvent dans quatre salles de cinéma...
Chaque ami choisit indépendamment des autres une salle de cinéma. L'univers de cette expérience aléatoire est composé de $4 \times 4 \times 4 \times 4=4^4=256$ quadruplets correspondant chacun aux choix respectifs des quatre amis.
Soit $A$ l'évènement: Ils se retrouvent dans des salles différentes.
En utilisant la méthode des cases de choix, on obtient 4 choix pour le premier ami, puis 3 pour le deuxième qui ne eput se trouver dans la même salle, puis 2 pour le troisièmes et enfin 1 pour le dernier.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
$$p(A)=\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$$
Soit $B$ l'évènement : Au moins deux se retrouvent dans la même salle.
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
$$p(B)= \frac{144+36+48+4}{256}=\frac{232}{256}=\frac{29}{32}$$
dimanche 2 mai 2010
Détermination de coefficients et recherche d'asymptotes
$f$ est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par:
$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$
$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$
Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.
$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$
En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:
On a donc :
$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$
La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$
Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.
La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$
Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$
ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif. et donc à $x$>$11$ Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.
$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$
Déterminons les réels $a,b,c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[ $
$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$
Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.
$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$
En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:
On a donc :
$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$
Utilisons cette forme pour étudier les limites en $1$ et en $+\infty$
La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$
Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.
La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$
Résolvons l'inéquation $$\left |f(x)-(x+2) \right | \leq 0,1 $$
Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$
ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif. et donc à $x$>$11$ Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.
vendredi 30 avril 2010
Matrices inverses
$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$
Matrices inverses
$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$
En posant $B=A^2$
De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$
Inverse d'une matrice
Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :
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