Maths au lycée: 2010

mardi 27 juillet 2010

dimanche 25 juillet 2010

dimanche 6 juin 2010

Chaines de Markov

Deux iles voisines A et B, isolées du monde, échangent une partie de leur population entre elles.


On note $\;a_n\;$ et $\;b_n\;$ les populations respectives des iles A et B, à l'issue de $\;n\;$ cycles d'échanges, $\; p_n=\begin{bmatrix}a_n\\ b_n \end{bmatrix}\;$ et $\;A\;$ la matrice de passage d'un état à son successeur: $\;p_{n+1}=A \times p_n \;$.

Le vecteur population initiale est  $\; p_0=\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\;$


Exprimons le vecteur colonne $ \;p_n\;$ de la population des iles après $\;n\;$ cycles d'échanges en fonction du vecteur population initiale  $ \;p_0\;$

$p_1=A \times p_0 $

$p_2=A \times p_1 $
$p_2=A \times A \times p_0 $
$p_2=A^2 \times p_0 $

$p_3=A \times p_2 $
$p_3=A \times A^2 \times p_0 $
$p_3=A^3 \times p_0 $
 ...
$p_n=A^n \times p_0 $

Si par exemple, les deux iles conservent 80 % de leur population et en exportent 20% sur l'autre ile à chaque cycle, la matrice $\;A\;$ se définit comme suit :

$ A= \begin{bmatrix}0.8 &0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix} $









Quelque soit la répartition initiale de la population sur chaque ile, il semble qu'un tel échange qui se répète, finisse par une stabilisation des populations, et l'égalisation de leur effectif sur chaque ile.

Prenons un autre exemple:

$ A= \begin{bmatrix}0.75 &0.15 \\ 0.25 & 0.85 \end{bmatrix} $

Ici, l'ile A conserve 75% de sa population et en envoie 25% sur l'ile B alors que B en conserve 85% et en envoie 15% sur A.

On peut regarder ce qui se passe à l'issue de 20 cycles avec différentes populations initiales :





samedi 5 juin 2010

Le théorème de Morley

Une illustration dynamique du très beau théorème de Morley qui s'énonce comme suit:

Les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral

 Pour les démonstrations, c'est un peu plus sportif...


























































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mardi 1 juin 2010

Formules de trigonométrie

jeudi 27 mai 2010

Second degré GeoGebra et Javascript

$ \huge{{\color{blue}ax^2+bx+c=0 }}$

$f(x)=ax^2+bx+c \:$ et $\: \Delta=b^2-4ac$
$ \Delta > 0 $
$\Delta = 0$
$\Delta < 0$
Equation $f(x)=0$
2 solutions $x_1$ et $x_2$
une solution $x_0$
pas de solution
Factorisation de $f(x)$
$a(x-x_1)(x-x_2)$
$a(x-x_0)^2$
pas de factorisation
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a :
b :
c :
CODE JavaScript et HTML

mardi 18 mai 2010

Script java "puissances de 2"




voici les premières puissances de 2 :

dimanche 16 mai 2010

Patron de cube




Ballon de foot




jeudi 6 mai 2010

Loi binomiale


Pour afficher la loi binomiale $\textsl{B}(n,p)$, cliquez ICI


lundi 3 mai 2010

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal


Quatre amis se retrouvent dans quatre salles de cinéma...

Chaque ami choisit indépendamment des autres une salle de cinéma. L'univers de cette expérience aléatoire est composé de $4 \times 4 \times 4 \times 4=4^4=256$ quadruplets correspondant chacun aux choix respectifs des quatre amis.

Soit $A$ l'évènement: Ils se retrouvent dans des salles différentes.

En utilisant la méthode des cases de choix, on obtient 4 choix pour le premier ami, puis 3 pour le deuxième qui ne eput se trouver dans la même salle, puis 2 pour le troisièmes et enfin 1 pour le dernier.

Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.

Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.

$$p(A)=\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$$

Soit $B$ l'évènement : Au moins deux se retrouvent dans la même salle.

On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$

On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.

Il faut considérer 3 cas:

Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.

Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.

Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.

Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.

Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.

On trouve donc :

$$p(B)= \frac{144+36+48+4}{256}=\frac{232}{256}=\frac{29}{32}$$

dimanche 2 mai 2010

Détermination de coefficients et recherche d'asymptotes

$f$ est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par:

$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$

Déterminons les réels $a,b,c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[ $

$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$

Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.

$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$

En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:





On a donc :

$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$

Utilisons cette forme pour étudier les limites en $1$ et en $+\infty$




La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$

Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$


Résolvons l'inéquation $$\left |f(x)-(x+2) \right | \leq 0,1 $$


Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$

ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif. et donc à $x$>$11$ Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.

vendredi 30 avril 2010

Matrices inverses




$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$

Matrices inverses









$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$

En posant $B=A^2$

De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$

Inverse d'une matrice

Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :







jeudi 29 avril 2010

Modélisation de croissances de population

introduction modélisation
quelques modèles d




séance modèle




































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La suite logistique (Animation CaRMetal)



-

Calcul matriciel

Soit la matrice:









Exprimez $A^2,A^3,A^4,A^5$ à l'aide de $A$ et de $I_2$.

$A^2=-I_2$
$A^3=-A$
$A^4=I_2$


Quelle expression conjecturez-vous pour $A^n$, pour tout$n$de $\mathbb{N}^*$?



Soit $p$ un entier naturel non nul:

$A^{4p+1}=A$
$A^{4p+2}=-I_2$
$A^{4p+3}=-A$
$A^{4p}=I_2$

wiris

lundi 26 avril 2010

Comportement asymptotique










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Utilisez les curseurs pour modifier l'expression de $f$



mercredi 21 avril 2010

Chaos, second degré et CaRMetal










Déplacez $u_0$ en utilisant le clic droit. Zoomez avec la molette de la souris. Modifiez la valeur de a.


mardi 20 avril 2010

La méthode d'Euler avec CaRMetal











Méthode d'Euler avec une division par 10 et par 100 de l'intervalle initial.

Déplacez A et B.

Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.



Le clic de souris est un clic droit.



Tournesol avec CarMetal











Pour agrandir la figure: Molette de la souris+ bouton droit enfoncé



vendredi 16 avril 2010

Cube tronqué




mercredi 14 avril 2010

Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"

Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.

Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation  n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples

Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.

Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)

Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail

  • Étude du signe de  $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
$x>0$ et $\frac{1}{x}>0$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi  $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$


Un signe élémentaire et pourtant...
  • Étude du signe de  $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
Cette question peut être abordée en seconde, mais lorsqu'il s'agit , par exemple, d'y répondre lors d'une étude de signe de dérivée en Terminale, elle peut s'avérer problématique.

$\frac{1}{5}>0$  et  $\\x>0$

Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$
soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$

On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :



Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:

Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!

Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$

Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.

Maîtriser la compétence: " Utiliser un changement de variable pour conclure"



Pour résoudre une équation
$x^4+x^2-6=0$

$\sqrt{x}+x-6=0$

$(lnx)^2+lnx-6=0$

$e^{2x}+4e^{x}=5$

Les exercices corrigés ICI

Pour calculer une limite


On pose: $X=3x\; $ et donc $$x=\frac{X}{3}$$

Ainsi :

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}=\lim_{X\rightarrow 0}3\frac{sinX}{X}=3$$



On pose: $X=x+3\; $

Ainsi:

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}= \lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ln(X)}{X}=0$$

par application du résultat de cours sur les croissances comparées.


Ne pas oublier de valider la cohérence de ses résultats en utilisant la calculatrice!

Même s'il est nécessaire d'utiliser une technique abstraite et détournée, les résultats attendus sont indépendants de la stratégie utilisée et doivent coller à la "réalité".
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).

Une fonction trigonométrique avec Edugraphe



$f(x)=xsin(x)$




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dimanche 11 avril 2010

vendredi 2 avril 2010

Définition d'une suite divergente vers + l'infini


Cliquer ICI pour accéder à l'animation.

jeudi 1 avril 2010

Définition d'une suite convergente avec Geogebra

Cliquer ICI pour accéder à l'animation

Modèles de Malthus et Verhulst avec Geogebra















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mercredi 31 mars 2010

Poisson















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lundi 29 mars 2010

Fiches calculatrices

Les fiches de Xmaths : ICI

Calculatrices TI Le fichier PDF

Programmation

TP dichotomie Terminale S

dichotomie ts

Arcs associés















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Flocon de Von Koch















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Le paradoxe de Monty Hall en probabilités conditionnelles

Qu'est-ce que le problème de Monty Hall ? Il est issu d'un jeu télévisé.

Il y a trois cartes devant vous faces cachées. L'une des trois est gagnante et vous devez la trouver.

Vous en choisissez une des trois sans la regarder.

Quelqu'un qui connait les cartes, en retourne, une des deux que vous n'avez pas choisie et qui est perdante.

Que devez vous faire? Retourner la carte que vous avez choisie initialement ou retourner l'autre ?

Les probabilités sont formelles, vous devez impérativement changer votre choix pour augmenter vos chances de gagner.

Essayez par vous même:
monty hall.jpg

Les probabilités au coeur de la justice: l'affaire Sally Clarck

En 1996 , un couple d'Anglais Sally et Steve Clark ont le malheur de perdre leur fils Christopher de la mort subite du nourisson. 13 mois plus tard, leur second fils Harry décède lui aussi de la même façon.


Les parents sont alors soupçonnés d'avoir tué les deux enfants.


L'accusation s'appuie sur l'argument suivant: Dans une famille aisée, non fumeur, dont la mère a plus de 26 ans, la probabilité d'une mort subite du nourrisson est de 1/8543 donc la probabilités de deux morts subites du nourrisson est de (1/8543)x(1/8543) soit une chance sur... 73 millions !


La suite ICI

Mes animations de cours

100% UTILE

Statistiques simples et doubles

Méthode d'Euler - Calcul de 20 points, pas variable, erreur relative,courbe intégrale

Représentation d'une suite définie par récurrence un+1=f(un)

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b]

Arcs associés

Lecture graphique du nombre dérivé

Nombre dérivé et fonction dérivée


Approximation de l'aire sous la courbe de la fonction carré par la méthode des rectangles

Affichage des courbes de la dérivée d'une fonction et d'une primitive


Fonctions logarithme et exponentielle


Fluctuation d'échantillonnage - Pile ou face



Définition d'une suite convergente

Définition d'une suite divergeant vers + $ \infty $


Comportement asymptotique





100% FUTILE ?


Tracé de la courbe de la fonction racine carrée à l'aide de triangles rectangles semblables

Lien entre périmètre d'un disque et aire

Le flocon de Von Koch

Le tapis de Sierpinsky