Chaque ami choisit indépendamment des autres une salle de cinéma. L'univers de cette expérience aléatoire est composé de $4 \times 4 \times 4 \times 4=4^4=256$ quadruplets correspondant chacun aux choix respectifs des quatre amis.
Soit $A$ l'évènement: Ils se retrouvent dans des salles différentes.
En utilisant la méthode des cases de choix, on obtient 4 choix pour le premier ami, puis 3 pour le deuxième qui ne eput se trouver dans la même salle, puis 2 pour le troisièmes et enfin 1 pour le dernier.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
$$p(A)=\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$$
Soit $B$ l'évènement : Au moins deux se retrouvent dans la même salle.
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
$$p(B)= \frac{144+36+48+4}{256}=\frac{232}{256}=\frac{29}{32}$$
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