$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$
Déterminons les réels $a,b,c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[ $
$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$
Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.
$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$
En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:
On a donc :
$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$
Utilisons cette forme pour étudier les limites en $1$ et en $+\infty$
La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$
Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.
La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$
Résolvons l'inéquation $$\left |f(x)-(x+2) \right | \leq 0,1 $$
Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$
ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif. et donc à $x$>$11$ Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.
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