Maths au lycée: avril 2010

vendredi 30 avril 2010

Matrices inverses




$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$

Matrices inverses









$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$

En posant $B=A^2$

De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$

Inverse d'une matrice

Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :







jeudi 29 avril 2010

Modélisation de croissances de population

introduction modélisation
quelques modèles d




séance modèle




































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La suite logistique (Animation CaRMetal)



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Calcul matriciel

Soit la matrice:









Exprimez $A^2,A^3,A^4,A^5$ à l'aide de $A$ et de $I_2$.

$A^2=-I_2$
$A^3=-A$
$A^4=I_2$


Quelle expression conjecturez-vous pour $A^n$, pour tout$n$de $\mathbb{N}^*$?



Soit $p$ un entier naturel non nul:

$A^{4p+1}=A$
$A^{4p+2}=-I_2$
$A^{4p+3}=-A$
$A^{4p}=I_2$

wiris

lundi 26 avril 2010

Comportement asymptotique










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Utilisez les curseurs pour modifier l'expression de $f$



mercredi 21 avril 2010

Chaos, second degré et CaRMetal










Déplacez $u_0$ en utilisant le clic droit. Zoomez avec la molette de la souris. Modifiez la valeur de a.


mardi 20 avril 2010

La méthode d'Euler avec CaRMetal











Méthode d'Euler avec une division par 10 et par 100 de l'intervalle initial.

Déplacez A et B.

Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.



Le clic de souris est un clic droit.



Tournesol avec CarMetal











Pour agrandir la figure: Molette de la souris+ bouton droit enfoncé



vendredi 16 avril 2010

Cube tronqué




mercredi 14 avril 2010

Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"

Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.

Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation  n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples

Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.

Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)

Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail

  • Étude du signe de  $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
$x>0$ et $\frac{1}{x}>0$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi  $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$


Un signe élémentaire et pourtant...
  • Étude du signe de  $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
Cette question peut être abordée en seconde, mais lorsqu'il s'agit , par exemple, d'y répondre lors d'une étude de signe de dérivée en Terminale, elle peut s'avérer problématique.

$\frac{1}{5}>0$  et  $\\x>0$

Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$
soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$

On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :



Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:

Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!

Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$

Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.

Maîtriser la compétence: " Utiliser un changement de variable pour conclure"



Pour résoudre une équation
$x^4+x^2-6=0$

$\sqrt{x}+x-6=0$

$(lnx)^2+lnx-6=0$

$e^{2x}+4e^{x}=5$

Les exercices corrigés ICI

Pour calculer une limite


On pose: $X=3x\; $ et donc $$x=\frac{X}{3}$$

Ainsi :

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}=\lim_{X\rightarrow 0}3\frac{sinX}{X}=3$$



On pose: $X=x+3\; $

Ainsi:

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}= \lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ln(X)}{X}=0$$

par application du résultat de cours sur les croissances comparées.


Ne pas oublier de valider la cohérence de ses résultats en utilisant la calculatrice!

Même s'il est nécessaire d'utiliser une technique abstraite et détournée, les résultats attendus sont indépendants de la stratégie utilisée et doivent coller à la "réalité".
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).

Une fonction trigonométrique avec Edugraphe



$f(x)=xsin(x)$




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dimanche 11 avril 2010

vendredi 2 avril 2010

Définition d'une suite divergente vers + l'infini


Cliquer ICI pour accéder à l'animation.

jeudi 1 avril 2010

Définition d'une suite convergente avec Geogebra

Cliquer ICI pour accéder à l'animation

Modèles de Malthus et Verhulst avec Geogebra















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