Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"

Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.

Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation  n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples. 

Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.

Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)

Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail

• Étude du signe de  $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

$x>0$ et $\frac{1}{x}>0$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi  $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$


Un signe élémentaire et pourtant...

• Étude du signe de  $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

Cette question peut être abordée en seconde, mais lorsqu'il s'agit , par exemple, d'y répondre lors d'une étude de signe de dérivée en Terminale, elle peut s'avérer problématique.

$\frac{1}{5}>0$  et  $\\x>0$

Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$

soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$

On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :

Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:

Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!

Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$

Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.