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mardi 1 juin 2010
mardi 11 mai 2010
jeudi 6 mai 2010
lundi 3 mai 2010
Quatre amis se retrouvent dans quatre salles de cinéma...
Chaque ami choisit indépendamment des autres une salle de cinéma. L'univers de cette expérience aléatoire est composé de $4 \times 4 \times 4 \times 4=4^4=256$ quadruplets correspondant chacun aux choix respectifs des quatre amis.
Soit $A$ l'évènement: Ils se retrouvent dans des salles différentes.
En utilisant la méthode des cases de choix, on obtient 4 choix pour le premier ami, puis 3 pour le deuxième qui ne eput se trouver dans la même salle, puis 2 pour le troisièmes et enfin 1 pour le dernier.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.
$$p(A)=\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$$
Soit $B$ l'évènement : Au moins deux se retrouvent dans la même salle.
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$
On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.
Il faut considérer 3 cas:
Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.
Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.
Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.
Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.
On trouve donc :
$$p(B)= \frac{144+36+48+4}{256}=\frac{232}{256}=\frac{29}{32}$$
jeudi 29 avril 2010
samedi 24 avril 2010
mercredi 21 avril 2010
Chaos, second degré et CaRMetal
Déplacez $u_0$ en utilisant le clic droit. Zoomez avec la molette de la souris. Modifiez la valeur de a.
mardi 20 avril 2010
La méthode d'Euler avec CaRMetal
Méthode d'Euler avec une division par 10 et par 100 de l'intervalle initial.
Déplacez A et B.
Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.
Le clic de souris est un clic droit.
Déplacez A et B.
Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.
Le clic de souris est un clic droit.
jeudi 15 avril 2010
mercredi 14 avril 2010
Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"
Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.
Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples.
Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.
Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)
Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail
- Étude du signe de $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$
Un signe élémentaire et pourtant...
- Étude du signe de $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$
$\frac{1}{5}>0$ et $\\x>0$
Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$
soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :
Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:
Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!
Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$
Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.
Maîtriser la compétence: " Utiliser un changement de variable pour conclure"
Pour résoudre une équation
$x^4+x^2-6=0$$\sqrt{x}+x-6=0$
$(lnx)^2+lnx-6=0$
$e^{2x}+4e^{x}=5$
Les exercices corrigés ICI
Pour calculer une limite
On pose: $X=3x\; $ et donc $$x=\frac{X}{3}$$
Ainsi :
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}=\lim_{X\rightarrow 0}3\frac{sinX}{X}=3$$
On pose: $X=x+3\; $
Ainsi:
$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}= \lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ln(X)}{X}=0$$
par application du résultat de cours sur les croissances comparées.
Ne pas oublier de valider la cohérence de ses résultats en utilisant la calculatrice!
Même s'il est nécessaire d'utiliser une technique abstraite et détournée, les résultats attendus sont indépendants de la stratégie utilisée et doivent coller à la "réalité".
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).
dimanche 4 avril 2010
vendredi 2 avril 2010
jeudi 1 avril 2010
lundi 29 mars 2010
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