Chaines de Markov

Deux iles voisines A et B, isolées du monde, échangent une partie de leur population entre elles.


On note $\;a_n\;$ et $\;b_n\;$ les populations respectives des iles A et B, à l'issue de $\;n\;$ cycles d'échanges, $\; p_n=\begin{bmatrix}a_n\\ b_n \end{bmatrix}\;$ et $\;A\;$ la matrice de passage d'un état à son successeur: $\;p_{n+1}=A \times p_n \;$.

Le vecteur population initiale est  $\; p_0=\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\;$


Exprimons le vecteur colonne $ \;p_n\;$ de la population des iles après $\;n\;$ cycles d'échanges en fonction du vecteur population initiale  $ \;p_0\;$

$p_1=A \times p_0 $

$p_2=A \times p_1 $
$p_2=A \times A \times p_0 $
$p_2=A^2 \times p_0 $

$p_3=A \times p_2 $
$p_3=A \times A^2 \times p_0 $
$p_3=A^3 \times p_0 $
 ...
$p_n=A^n \times p_0 $

Si par exemple, les deux iles conservent 80 % de leur population et en exportent 20% sur l'autre ile à chaque cycle, la matrice $\;A\;$ se définit comme suit :

$ A= \begin{bmatrix}0.8 &0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix} $

Quelque soit la répartition initiale de la population sur chaque ile, il semble qu'un tel échange qui se répète, finisse par une stabilisation des populations, et l'égalisation de leur effectif sur chaque ile.

Prenons un autre exemple:

$ A= \begin{bmatrix}0.75 &0.15 \\ 0.25 & 0.85 \end{bmatrix} $

Ici, l'ile A conserve 75% de sa population et en envoie 25% sur l'ile B alors que B en conserve 85% et en envoie 15% sur A.

On peut regarder ce qui se passe à l'issue de 20 cycles avec différentes populations initiales :

Détermination de coefficients et recherche d'asymptotes

$f$ est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par:

$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$

Déterminons les réels $a,b,c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[ $

$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$

Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.

$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$

En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:





On a donc :

$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$

Utilisons cette forme pour étudier les limites en $1$ et en $+\infty$

La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$

Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$

Résolvons l'inéquation $$\left |f(x)-(x+2) \right | \leq 0,1 $$

Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$

ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif. et donc à $x$>$11$ Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.

Matrices inverses

$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$

Matrices inverses

$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$

En posant $B=A^2$

De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$

Inverse d'une matrice

Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :

Calcul matriciel

Soit la matrice:

Exprimez $A^2,A^3,A^4,A^5$ à l'aide de $A$ et de $I_2$.

$A^2=-I_2$
$A^3=-A$
$A^4=I_2$


Quelle expression conjecturez-vous pour $A^n$, pour tout$n$de $\mathbb{N}^*$?


Soit $p$ un entier naturel non nul:

$A^{4p+1}=A$
$A^{4p+2}=-I_2$
$A^{4p+3}=-A$
$A^{4p}=I_2$

L'orientation en lycée après la Seconde

Point clé: lecture graphique d'un nombre dérivé

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