Matrices inverses

$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$

Matrices inverses

$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$

En posant $B=A^2$

De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$

Inverse d'une matrice

Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :

Modélisation de croissances de population

introduction modélisation
quelques modèles d

Le sujet élève

séance modèle




































Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

La suite logistique (Animation CaRMetal)

-

Calcul matriciel

Soit la matrice:

Exprimez $A^2,A^3,A^4,A^5$ à l'aide de $A$ et de $I_2$.

$A^2=-I_2$
$A^3=-A$
$A^4=I_2$


Quelle expression conjecturez-vous pour $A^n$, pour tout$n$de $\mathbb{N}^*$?


Soit $p$ un entier naturel non nul:

$A^{4p+1}=A$
$A^{4p+2}=-I_2$
$A^{4p+3}=-A$
$A^{4p}=I_2$

wiris

Comportement asymptotique

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Utilisez les curseurs pour modifier l'expression de $f$

Les sujets 2010 du bac Pondichery

ICI

Chaos, second degré et CaRMetal

Déplacez $u_0$ en utilisant le clic droit. Zoomez avec la molette de la souris. Modifiez la valeur de a.

La méthode d'Euler avec CaRMetal

Méthode d'Euler avec une division par 10 et par 100 de l'intervalle initial.

Déplacez A et B.

Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.


Le clic de souris est un clic droit.

Tournesol avec CarMetal

Pour agrandir la figure: Molette de la souris+ bouton droit enfoncé

Cube tronqué

Annales corrigées de Première L

• Les annales de l'APMEP

• Le module de révisions de XMaths
  
  

Annales corrigées de Terminale ES

• Annales corrigées à partir de 2005

• Annales corrigées à partir de 2004

• Sujets d’annales corrigées interactifs

• Annales corrigées depuis 2001

• Tous les sujets depuis 1999 dont 2 corrigés
   
• Module de révisions XMaths
  
  

Annales corrigées de Terminale S

• Une centaine de sujets d’annales corrigés sur le site de l’APMEP

• Annales corrigées de 2004 à 2009

• Sujets et corrigés de 1998 à 2008

• 13 sujets animés corrigés
  
  
  
• Module de révisions XMaths
  
  
• Fiches de préparation (Ile des maths)
  
  
• Sujets classés par thèmes
  
  
  
  

Section plane d'un cube

Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"

Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.

Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation  n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples. 

Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.

Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)

Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail

• Étude du signe de  $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

$x>0$ et $\frac{1}{x}>0$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi  $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$


Un signe élémentaire et pourtant...

• Étude du signe de  $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

Cette question peut être abordée en seconde, mais lorsqu'il s'agit , par exemple, d'y répondre lors d'une étude de signe de dérivée en Terminale, elle peut s'avérer problématique.

$\frac{1}{5}>0$  et  $\\x>0$

Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$

soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$

On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :

Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:

Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!

Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$

Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.

Maîtriser la compétence: " Utiliser un changement de variable pour conclure"

Pour résoudre une équation

• Équation bicarrée

$x^4+x^2-6=0$

• Équation irrationnelle

$\sqrt{x}+x-6=0$

• Équation avec ln

$(lnx)^2+lnx-6=0$

• Équation avec exp

$e^{2x}+4e^{x}=5$

Les exercices corrigés ICI

Pour calculer une limite

• $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}$$

On pose: $X=3x\; $ et donc $$x=\frac{X}{3}$$

Ainsi :

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}=\lim_{X\rightarrow 0}3\frac{sinX}{X}=3$$

• $$\lim_{x\rightarrow =+\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}$$

On pose: $X=x+3\; $

Ainsi:

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}= \lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ln(X)}{X}=0$$

par application du résultat de cours sur les croissances comparées.

Ne pas oublier de valider la cohérence de ses résultats en utilisant la calculatrice!

Même s'il est nécessaire d'utiliser une technique abstraite et détournée, les résultats attendus sont indépendants de la stratégie utilisée et doivent coller à la "réalité".
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).

Une fonction trigonométrique avec Edugraphe

$f(x)=xsin(x)$




Votre navigateur ne supporte pas Java.

L'orientation en lycée après la Seconde

Entrainement aux techniques de base en Terminale ES

Equations de droites
Test en ligne
Associer une droite et sa représentation graphique
Associer des droites à leur expression ICI et ICI
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine dont la représentation est donnée


Pourcentages
Evolutions successives
Suites et pourcentages


Limites
Limite à l’infini d’une fonction polynôme
Limite à l’infini d’une fonction rationnelle
Limite de 1/u


Dérivation
Exercices sur la dérivée (1ère)
Lecture graphique du nombre dérivé:  1 2 3 4 et 5
Déterminer graphiquement une équation de tangente
Signe de la dérivée / Variation de fonction
Reconnaître la courbe d’une fonction dérivée


Intégration
Encadrer une intégrale à l’aide de 2 entiers consécutifs
Reconnaître la courbe d’une primitive


Logarithme
Propriétés algébriques de la fonction ln: 1 et 2

Ensemble de définition de lnf où f est une fonction affine
Ensemble de définition d’une fonction du type lnf
Limite de lnu
Dérivée d’une fonction klnu
Associer des produits ou quotients de logarithmes de fonctions dérivable à leur dérivée
Primitives de ku’/u
Calcul d’une intégrale de ku’/u


Statistiques
Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
Outil en ligne d’ajustement affine par la méthode des moindres carré


Exponentielle
Techniques de base

Triangle de Pascal

Cliquer ICI

Diagrammes de Venn

Cliquer ICI

Suite de Fibonacci et nombre d'or

Cliquer ICI

Définition d'une suite divergente vers + l'infini

Cliquer ICI pour accéder à l'animation.

Définition d'une suite convergente avec Geogebra

Cliquer ICI pour accéder à l'animation

Modèles de Malthus et Verhulst avec Geogebra

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)