Maths au lycée

Texte dynamique

2011-11-18T08:54:00.001-08:00

Calendrier

2011-11-18T07:43:00.001-08:00

Trapèze avec Casyopée

2011-03-19T07:52:00.001-07:00

On se donne un triangle $OAB$ rectangle en $O$, isocèle et de cotés 6.
$C$ est un point du segment $[OA ]$ et $D$ est le point du segment $[AB]$ tel que $OCDB$ soit un trapèze.
En utilisant Casyopée, modélisez la situation et déterminez la position du point $C$ à partir de laquelle l’aire du trapèze $OCDB$ sera égale à la moitié de l’aire du triangle $OAB$ (pour les premières) ou égale à 10 pour les secondes.

Démontrez tous les résultats, en posant que $OC=x$.

Voir les copies des fenêtres: ICI

Recherche de racines

2010-07-27T02:24:00.001-07:00

Jeu complexe

2010-07-25T10:03:00.001-07:00

Click here for full screen version

Chaines de Markov

2010-06-06T01:17:00.000-07:00

Deux iles voisines A et B, isolées du monde, échangent une partie de leur population entre elles.

On note $\;a_n\;$ et $\;b_n\;$ les populations respectives des iles A et B, à l'issue de $\;n\;$ cycles d'échanges, $\; p_n=\begin{bmatrix}a_n\\ b_n \end{bmatrix}\;$ et $\;A\;$ la matrice de passage d'un état à son successeur: $\;p_{n+1}=A \times p_n \;$.

Le vecteur population initiale est $\; p_0=\begin{bmatrix}a_0\\ b_0 \end{bmatrix}\;$

Exprimons le vecteur colonne $ \;p_n\;$ de la population des iles après $\;n\;$ cycles d'échanges en fonction du vecteur population initiale $ \;p_0\;$

$p_1=A \times p_0 $

$p_2=A \times p_1 $
$p_2=A \times A \times p_0 $
$p_2=A^2 \times p_0 $

$p_3=A \times p_2 $
$p_3=A \times A^2 \times p_0 $
$p_3=A^3 \times p_0 $
...
$p_n=A^n \times p_0 $

Si par exemple, les deux iles conservent 80 % de leur population et en exportent 20% sur l'autre ile à chaque cycle, la matrice $\;A\;$ se définit comme suit :

$ A= \begin{bmatrix}0.8 &0.2 \\ 0.2 & 0.8 \end{bmatrix} $

Quelque soit la répartition initiale de la population sur chaque ile, il semble qu'un tel échange qui se répète, finisse par une stabilisation des populations, et l'égalisation de leur effectif sur chaque ile.

Prenons un autre exemple:

$ A= \begin{bmatrix}0.75 &0.15 \\ 0.25 & 0.85 \end{bmatrix} $

Ici, l'ile A conserve 75% de sa population et en envoie 25% sur l'ile B alors que B en conserve 85% et en envoie 15% sur A.

On peut regarder ce qui se passe à l'issue de 20 cycles avec différentes populations initiales :

Le théorème de Morley

2010-06-05T08:07:00.000-07:00

Une illustration dynamique du très beau théorème de Morley qui s'énonce comme suit:

Les intersections des trissectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral

Pour les démonstrations, c'est un peu plus sportif...

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Formules de trigonométrie

2010-06-01T09:30:00.000-07:00

Formules de trigonométrie on Prezi

Second degré GeoGebra et Javascript

2010-05-27T10:42:00.001-07:00

$ \huge{{\color{blue}ax^2+bx+c=0 }}$

$f(x)=ax^2+bx+c \:$ et $\: \Delta=b^2-4ac$
	$ \Delta > 0 $	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
Equation $f(x)=0$	2 solutions $x_1$ et $x_2$	une solution $x_0$	pas de solution
Factorisation de $f(x)$	$a(x-x_1)(x-x_2)$	$a(x-x_0)^2$	pas de factorisation
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CODE JavaScript et HTML

Script java "puissances de 2"

2010-05-18T12:52:00.001-07:00

voici les premières puissances de 2 :

Patron de cube

2010-05-16T03:03:00.000-07:00

Ballon de foot

2010-05-16T02:10:00.000-07:00

Lois de probabilité continues

2010-05-11T05:53:00.000-07:00

Densité de probabilité, loi continue, loi uniforme,la loi exponentielle

Les fichiers GeoGebra:

Loi continue

Loi uniforme

Loi exponentielle

Loi binomiale

2010-05-06T05:14:00.000-07:00

Pour afficher la loi binomiale $\textsl{B}(n,p)$, cliquez ICI

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal

2010-05-03T09:40:00.000-07:00

Quatre amis se retrouvent dans quatre salles de cinéma...

2010-05-03T04:15:00.000-07:00

Chaque ami choisit indépendamment des autres une salle de cinéma. L'univers de cette expérience aléatoire est composé de $4 \times 4 \times 4 \times 4=4^4=256$ quadruplets correspondant chacun aux choix respectifs des quatre amis.

Soit $A$ l'évènement: Ils se retrouvent dans des salles différentes.

En utilisant la méthode des cases de choix, on obtient 4 choix pour le premier ami, puis 3 pour le deuxième qui ne eput se trouver dans la même salle, puis 2 pour le troisièmes et enfin 1 pour le dernier.

Il y a donc $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cas favorables.

Nous sommes en situation d'équiprobabilité, puisque les choix se font indépendamment les uns des autres, la probabilité d'un évènement s'obtient donc comme le quotient des cas favorables sur la totalité des cas possibles.

$$p(A)=\frac{24}{256} = \frac{3}{32}$$

Soit $B$ l'évènement : Au moins deux se retrouvent dans la même salle.

On remarque que $$B= \overline{A}$$.
Ainsi:
$$p(B)=1-p(A)= \frac{29}{32}$$

On peut faire un dénombrement direct, mais cela n'est pas très adapté compte tenu de la simplicité du pasage par l'évènement contraire et le fait que l'évenment $B$ recouvre la quasi-totalité des issues possibles.

Il faut considérer 3 cas:

Deux amis exactement se rencontrent dans la même salle.
Et là il faut considérer deux sous-cas suivants que les deux amis restants se rencontrent ou non dans une même autre salle.

Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autres dans deux salles différentes:
On fixe la salle et les amis soit : $1\times 1 \times 3 \times 2 $.
On multiplie par le nombre de salle possibles soit 4 et le nombre de positions (qui correspondent aux amis) de 2 éléments parmi 4 soit 6. On trouve donc 144 cas favorables.

Deux amis se rencontrent dans une même salle et les deux autre dans une même autre salle.
On fixe la salle et les amis soit $1 \times 1 \times 3 \times 1=3$ car le dernier ami doit aller dans la salle du troisième. Il n'a pas le choix, tout comme le deuxième.
On fait maintenant varier les salles, il y en a 4 possibles et les positions . Il faut cependant faire attention car il n'y en a plus 6 mais 3 car il existe des symétries. Il ne faut pas compter deux fois les issues.
On trouve donc 36 cas favorables.

Trois amis se retrouvent dans la même salle.
Avec le même procédé que précédemment on trouve : $1\times 1 \times 1 \times 3$ multtiplié par le nombre de salles, soit 4, puis le nombre de possibilité de faire le choix de trois élément parmi 4, d'ailleurs identique aux choix possibles d'un élément parmi 4, soit 4. On a donc 48 issues favorables.

Quatre amis se retrouvent dans la même salle. On trouve aisément qu'il n'y a que 4 issues favorables.

On trouve donc :

$$p(B)= \frac{144+36+48+4}{256}=\frac{232}{256}=\frac{29}{32}$$

Détermination de coefficients et recherche d'asymptotes

2010-05-02T09:03:00.000-07:00

$f$ est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par:

$$f(x)=\frac{x^2+x+3}{x-1}$$

Déterminons les réels $a,b,c$ tels que pour tout $x \in ]1;+\infty[ $

$$f(x)=ax+b + \frac{c}{x-1}$$

Pour cela on met l'expression de $f$ contenant les coefficients littéraux au même dénominateur et on identifie les coefficients par comparaison avec la forme développée, ordonnée et réduite du numérateur.

$$f(x)=\frac{ax^2+(-a+b)x-b+c}{x-1}$$

En identifiant les coefficients des "$x^2$", des "$x$" et la constante:

On a donc :

$$f(x)=x+2 + \frac{1}{x-1}$$

Utilisons cette forme pour étudier les limites en $1$ et en $+\infty$

La fonction $f$ est de la forme $$f(x)=x+2+\phi(x)$$
avec $$\phi(x)=\frac{1}{x-1}$$
et $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\phi(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-1}=0$$

Ainsi la droite$\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

La courbe possède aussi une asymptote verticale d'équation $x=1$
puisque $$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$$

Résolvons l'inéquation $$\left |f(x)-(x+2) \right | \leq 0,1 $$

Soit $$\left | \frac{1}{x-1} \right | \leq 0,1 $$

ce qui est équivalent à$$ 0< \frac{1}{x-1} \leq 0,1 $$ puisque $x-1$ est strictement positif.et donc à $x$>$11$Ceci implique que pour $x$>$11$, l'écart entre la courbe représentative de $f$ et l'asymptote $\Delta$ est inférieur à 0,1.

Matrices inverses

2010-04-30T10:12:00.000-07:00

$A^4=A^2\times A^2=I_3$
En posant:
$B=A^2$
On a :
$B \times B=I_3$
Ainsi:
$B=B^{-1}$

Matrices inverses

2010-04-30T09:55:00.000-07:00

$A^4=I_2$
ainsi
$A \times A^3=I_2$
et donc
$A^{-1}=A^3$

En posant $B=A^2$

De $A^4=I_2$
Il vient $A^2\times A^2=I_2$
Et donc $B \times B=I_2$
D'où $B^{-1}=B$

Inverse d'une matrice

2010-04-30T09:37:00.000-07:00

Soit $A$ une matrice d'ordre n. B est l'inverse de $A$ si et seulement si $A \times B=I_n$
Exemple :

Modélisation de croissances de population

2010-04-29T07:02:00.000-07:00

introduction modélisation
quelques modèles d

Le sujet élève

séance modèle

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La suite logistique (Animation CaRMetal)

Calcul matriciel

2010-04-29T03:54:00.000-07:00

Soit la matrice:

Exprimez $A^2,A^3,A^4,A^5$ à l'aide de $A$ et de $I_2$.

$A^2=-I_2$
$A^3=-A$
$A^4=I_2$

Quelle expression conjecturez-vous pour $A^n$, pour tout$n$de $\mathbb{N}^*$?

Soit $p$ un entier naturel non nul:

$A^{4p+1}=A$
$A^{4p+2}=-I_2$
$A^{4p+3}=-A$
$A^{4p}=I_2$

wiris

2010-04-29T01:57:00.000-07:00

Comportement asymptotique

2010-04-26T09:53:00.000-07:00

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Utilisez les curseurs pour modifier l'expression de $f$

Les sujets 2010 du bac Pondichery

2010-04-24T07:44:00.001-07:00

ICI

Chaos, second degré et CaRMetal

2010-04-21T06:21:00.000-07:00

Déplacez $u_0$ en utilisant le clic droit. Zoomez avec la molette de la souris. Modifiez la valeur de a.

La méthode d'Euler avec CaRMetal

2010-04-20T09:35:00.000-07:00

Méthode d'Euler avec une division par 10 et par 100 de l'intervalle initial.

Déplacez A et B.

Cliquez sur la courbe verte pour modifier son expression.

Le clic de souris est un clic droit.

Tournesol avec CarMetal

2010-04-20T06:51:00.000-07:00

Pour agrandir la figure: Molette de la souris+ bouton droit enfoncé

Cube tronqué

2010-04-16T02:36:00.000-07:00

Annales corrigées de Première L

2010-04-15T23:37:00.000-07:00

Les annales de l'APMEP

Le module de révisions de XMaths

Annales corrigées de Terminale ES

2010-04-15T22:55:00.001-07:00

Annales corrigées à partir de 2005

Annales corrigées à partir de 2004

Sujets d’annales corrigées interactifs

Annales corrigées depuis 2001

Annales corrigées de Terminale S

2010-04-15T22:52:00.000-07:00

Une centaine de sujets d’annales corrigés sur le site de l’APMEP

Annales corrigées de 2004 à 2009

Sujets et corrigés de 1998 à 2008

Section plane d'un cube

2010-04-15T02:55:00.000-07:00

Maîtriser la compétence: " Etudier le signe d'une expression"

2010-04-14T11:37:00.000-07:00

Bien souvent l'étude du signe d'une expression se réduit à le donner directement, sans aucune justification. Dans les cas les plus problématiques, ce signe n'est même pas validé par une étude à l'aide de la calculatrice. De la seconde à la terminale, l'étude du signe d'une expression simple, qui intervient la plupart du temps à partir de la première au travers de l'étude de la fonction dérivée pour en déduire les variations de la fonction, celle-ci est souvent négligée.Le tableau des variations est régulièrement posé comme par magie derrière le calcul de la dérivée. Parfois il est correct mais dans certains cas, la négligence conduit à l'erreur et ceci indépendamment de la difficulté lié à l'étude du signe.

Lors de l'étude du signe d'une fonction dérivée, l'inéquation n'est pas posée, il faut donc l'écrire.
Parfois l'expression est à modifier ( souvent à factoriser mais pas toujours) et il faut dégager les différents blocs du quotient ou du produit afin d'étudier leur signe. Dans tous les cas, l'étude d'un signe complexe se ramène à plusieurs études simples.

Le domaine d'étude de la fonction est quelquefois primordial et permet de conclure directement.

Dans l'idéal, toute étude de signe devrait être justifiée par des théorèmes ou des propriétés vues en cours ( somme de fonctions positives, second degré, règle des signes, utilisation des variations de la fonction, utilisation des variations d'une fonction de référence...)

Lorsque le domaine d'étude fait tout le travail

Étude du signe de $x+\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

$x>0$ et $\frac{1}{x}>0$
La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive, ainsi $x+\frac{1}{x}>0$ sur $]0;+\infty [$

Un signe élémentaire et pourtant...

Étude du signe de $\frac{1}{5}\frac{4x-1}{x}$ sur $]0;+\infty [$

Cette question peut être abordée en seconde, mais lorsqu'il s'agit , par exemple, d'y répondre lors d'une étude de signe de dérivée en Terminale, elle peut s'avérer problématique.

$\frac{1}{5}>0$ et $\\x>0$

Il faut résoudre l'inéquation $4x-1\geq 0$

soit $\color{red}x\geq \frac{1}{4}$

On peut ainsi dresser le tableau de signe suivant ( qu'il corresponde à celui d'une dérivée, une différence entre deux fonctions pour étudier les positions relatives des courbes, ou tout autre usage) :

Étudier le signe de $ \frac{1-ln(x+3)}{(x+3)^2^}$ pour $x>0$:

Effectivement, ça sent un peut le signe de dérivée, mais contrairement aux apparences trompeuses, les justifications attendues sont loin d'être toujours au rendez-vous!

Ce n'est pas le signe de $(x+3)^2$ qui pose problème mais plutôt celui de $1-ln(x+3)$
Résolvons pour cela l'inéquation suivante:
$1-ln(x+3)\geq 0$
$ 1\geq ln(x+3)$
$ ln(e)\geq ln(x+3)$
La justification attendue ici est que la fonction $ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$
$e\geq x+3$
$x\leq e-3<0$

Ainsi, pour tout $x>0$, $1-ln(x+3)<0$ et donc l'expression initiale aussi.

Maîtriser la compétence: " Utiliser un changement de variable pour conclure"

2010-04-14T10:05:00.000-07:00

Pour résoudre une équation

Équation bicarrée

$x^4+x^2-6=0$

Équation irrationnelle

$\sqrt{x}+x-6=0$

Équation avec ln

$(lnx)^2+lnx-6=0$

Équation avec exp

$e^{2x}+4e^{x}=5$

Les exercices corrigés ICI

Pour calculer une limite

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}$$

On pose: $X=3x\; $ et donc $$x=\frac{X}{3}$$

Ainsi :

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin3x}{x}=\lim_{X\rightarrow 0}3\frac{sinX}{X}=3$$

$$\lim_{x\rightarrow =+\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}$$

On pose: $X=x+3\; $

Ainsi:

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{ln(x+3)}{x+3}= \lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ln(X)}{X}=0$$

par application du résultat de cours sur les croissances comparées.

Ne pas oublier de valider la cohérence de ses résultats en utilisant la calculatrice!

Même s'il est nécessaire d'utiliser une technique abstraite et détournée, les résultats attendus sont indépendants de la stratégie utilisée et doivent coller à la "réalité".
Cliquez sur les hyperliens de chaque titre pour visualiser les courbes des fonctions correspondantes ( Ne tenez pas compte des parties rouges des courbes).

Une fonction trigonométrique avec Edugraphe

2010-04-14T09:35:00.000-07:00

$f(x)=xsin(x)$

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L'orientation en lycée après la Seconde

2010-04-13T03:06:00.001-07:00

Entrainement aux techniques de base en Terminale ES

2010-04-11T09:02:00.001-07:00

Equations de droites
Test en ligne
Associer une droite et sa représentation graphique
Associer des droites à leur expression ICI et ICI
Déterminer l’expression algébrique d’une fonction affine dont la représentation est donnée

Pourcentages
Evolutions successives
Suites et pourcentages

Limites
Limite à l’infini d’une fonction polynôme
Limite à l’infini d’une fonction rationnelle
Limite de 1/u

Dérivation
Exercices sur la dérivée (1ère)
Lecture graphique du nombre dérivé: 1 2 3 4 et 5
Déterminer graphiquement une équation de tangente
Signe de la dérivée / Variation de fonction
Reconnaître la courbe d’une fonction dérivée

Intégration
Encadrer une intégrale à l’aide de 2 entiers consécutifs
Reconnaître la courbe d’une primitive

Logarithme
Propriétés algébriques de la fonction ln: 1 et 2

Ensemble de définition de lnf où f est une fonction affine
Ensemble de définition d’une fonction du type lnf
Limite de lnu
Dérivée d’une fonction klnu
Associer des produits ou quotients de logarithmes de fonctions dérivable à leur dérivée
Primitives de ku’/u
Calcul d’une intégrale de ku’/u

Statistiques
Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
Outil en ligne d’ajustement affine par la méthode des moindres carré

Exponentielle
Techniques de base

Triangle de Pascal

2010-04-04T07:29:00.000-07:00

Cliquer ICI

Diagrammes de Venn

2010-04-04T07:18:00.000-07:00

Cliquer ICI

Suite de Fibonacci et nombre d'or

2010-04-04T07:14:00.000-07:00

Cliquer ICI

Définition d'une suite divergente vers + l'infini

2010-04-02T06:42:00.000-07:00

Cliquer ICI pour accéder à l'animation.

Définition d'une suite convergente avec Geogebra

2010-04-01T10:07:00.000-07:00

Cliquer ICI pour accéder à l'animation

Modèles de Malthus et Verhulst avec Geogebra

2010-04-01T07:25:00.001-07:00

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Poisson

2010-03-31T08:53:00.000-07:00

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Fiches calculatrices

2010-03-29T07:26:00.000-07:00

Les fiches de Xmaths : ICI

Calculatrices TI Le fichier PDF

Programmation

TP dichotomie Terminale S

2010-03-29T07:21:00.000-07:00

dichotomie ts

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Arcs associés

2010-03-29T07:19:00.001-07:00

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Flocon de Von Koch

2010-03-29T07:12:00.001-07:00

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Le paradoxe de Monty Hall en probabilités conditionnelles

2010-03-29T07:06:00.000-07:00

Qu'est-ce que le problème de Monty Hall ? Il est issu d'un jeu télévisé.

Il y a trois cartes devant vous faces cachées. L'une des trois est gagnante et vous devez la trouver.

Vous en choisissez une des trois sans la regarder.

Quelqu'un qui connait les cartes, en retourne, une des deux que vous n'avez pas choisie et qui est perdante.

Que devez vous faire? Retourner la carte que vous avez choisie initialement ou retourner l'autre ?

Les probabilités sont formelles, vous devez impérativement changer votre choix pour augmenter vos chances de gagner.

Essayez par vous même:

Les probabilités au coeur de la justice: l'affaire Sally Clarck

2010-03-29T07:04:00.000-07:00

En 1996 , un couple d'Anglais Sally et Steve Clark ont le malheur de perdre leur fils Christopher de la mort subite du nourisson. 13 mois plus tard, leur second fils Harry décède lui aussi de la même façon.

Les parents sont alors soupçonnés d'avoir tué les deux enfants.

L'accusation s'appuie sur l'argument suivant: Dans une famille aisée, non fumeur, dont la mère a plus de 26 ans, la probabilité d'une mort subite du nourrisson est de 1/8543 donc la probabilités de deux morts subites du nourrisson est de (1/8543)x(1/8543) soit une chance sur... 73 millions !

La suite ICI

Mes animations de cours

2010-03-29T06:59:00.000-07:00

100% UTILE

Statistiques simples et doubles

Méthode d'Euler - Calcul de 20 points, pas variable, erreur relative,courbe intégrale

Représentation d'une suite définie par récurrence u_n+1=f(u_n)

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b]

Arcs associés

Lecture graphique du nombre dérivé

Nombre dérivé et fonction dérivée

Approximation de l'aire sous la courbe de la fonction carré par la méthode des rectangles

Affichage des courbes de la dérivée d'une fonction et d'une primitive

Fonctions logarithme et exponentielle

Fluctuation d'échantillonnage - Pile ou face

Définition d'une suite convergente

Définition d'une suite divergeant vers + $ \infty $

Comportement asymptotique

100% FUTILE ?

Tracé de la courbe de la fonction racine carrée à l'aide de triangles rectangles semblables

Lien entre périmètre d'un disque et aire

Le flocon de Von Koch

Le tapis de Sierpinsky

Point clé: Détermination de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées

2010-03-28T22:25:00.000-07:00

TELECHARGER -> Point clé détermination de primitives par lecture inverse du tableau de dérivées

Visualiser les courbes des fonctions dérivée et d'une primitive avec GeoGebra

Point clé: Inverser un arbre pondéré

2010-03-28T22:23:00.000-07:00

Télécharger -> Inverser un arbre pondéré

Point clé: Lien entre dérivée, fonction et primitive

2010-03-28T22:21:00.000-07:00

Télécharger -> Point clé lien entre f, f' et F

Visualiser les courbes des fonctions dérivée et d'une primitive avec GeoGebra

Point clé: lecture graphique d'un nombre dérivé

2010-03-28T22:18:00.000-07:00

Télécharger -> Point clé lecture graphique du nombre dérivé

Point clé: Concrètement c'est quoi l'intégrale de a à b de f(x)dx quand f>0 ?

2010-03-28T22:16:00.000-07:00

Télécharger -> Point clé intégrale

Point clé : quelques apparitions du nombre e

2010-03-28T22:12:00.001-07:00

Télécharger -> Point clé quelques apparitions du nombre e

Point clé : La trigo c'est pas sorcier

2010-03-28T22:10:00.001-07:00

Télécharger -> Point clé trigonométrie

Point clé: Fonction ln : sympa -pas sympa

2010-03-28T22:07:00.000-07:00

Télécharger -> Point clé fonction ln

Ecrire des mathématiques dans un blog Google

2010-03-28T12:20:00.000-07:00

La première étape très simple est l'installation du Widget WatchMath sur le blog. La suivante est de trouver un tutoriel Latex ou de se diriger vers CodeCogs, comme générateur de syntaxe. Ensuite il suffit d'insérer le code Latex entre dollars ou double-dollars et le tour est joué.

La formule $$e^{i\pi}+1=0$$ est vraiment la plus belle du monde, mais celle-là n'est pas mal non plus: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\$$

Merci au prof Geek pour le tutoriel vidéo :

Bien débuter avec l'exponentielle

2010-03-28T07:29:00.000-07:00

Quelques adresses pour l'exponentielle on Prezi

entrainement exponentielle

ln et exp

2010-03-23T06:58:00.001-07:00

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Paraboloïde

2010-03-16T02:42:00.000-07:00

Suite définie par récurrence avec Edugraphe

2009-05-15T04:54:00.000-07:00

Suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=-0.5x+5$

Votre navigateur ne supporte pas Java.

Cliquer sur le premier terme ou sur la droite pour les modifier.

Les zanniversaires

2009-05-03T02:02:00.000-07:00

Dans une classe, il est fortement probable d'avoir deux élèves ayant la même date de naissance.

Environ 50% de chances pour un groupe de 23.

Environ 70% pour un groupe de 32.

Et presque 100% pour un groupe de 57.

Faites l'expérience par vous-même avec l'applet Java : ICI

L'explication : ICI

Dénombrements

2009-04-05T01:55:00.000-07:00

Le Loto

Un article sympa accessible aux TS : Probabilités et Loto

En jouant toute votre vie, vous avez une chance sur 1 676 de gagner le gros lot donc mieux vaut bosser comme tout le monde et ne pas jouer au Loto. Cependant, les 8 348 tirages ont coûté « seulement » 5 000 euros et le retour sur investissement est donc bien meilleur par rapport à la bourse mais les chances de gagner sont nettement plus faibles !

1125899906842624 dessins

Un peu de dénombrement....

Avec 50 cases à cocher, affichant chacune un dessin ou un autre, vous pouvez réaliser exactement 2⁵⁰ jolis dessins. C'est ce que propose Wolfram ICI. ( Il faut installer le player Mathematicapour visualiser )

Sachant que vous allez regarder à peu près un dessin par seconde, combien de temps devrez-vous avoir devant vous pour les regarder tous ?
Impressionnant non ? Allez on se dépèche, et je suis d'accord pour repousser l'interro la semaine prochaine :)

Les polygones et les polyèdres réguliers

2009-03-05T01:50:00.000-08:00

J'ai parlé en cours ( de 1ère S) des conjectures, des polygones et des polyèdres réguliers.

Si vous voulez vous informer un peu plus sur ces sujets, voilà quelques liens qui devraient satisfaire votre soif de connaissance:

Les polyèdres réguliers ou corps platoniciens

Former les polyèdres réguliers à partir des polygones réguliers

L'école d'Athènes

Tout plein de polyèdres

A compound of ten tetrahedra

Les conjectures

2009-03-01T01:48:00.000-08:00

Qu'est-ce qu'une conjecture?

Conjecturons mais pas trop vite

Quelques notes des Inclassables Mathématiques sur les conjectures

Goldbach Comet

La peur de l'erreur en mathématiques

2009-01-31T01:43:00.000-08:00

Beaucoup d'élèves croient qu'eux seuls ont peur de commettre une erreur en mathématiques, mais les mathématiciens eux-même possèdent cette peur comme en témoigne ce récit que vous pouvez consulter en intégralité sur l'excellent site Images des mathématiques.

AUJOURD’hui, 17:03:48, un message électronique de Bertrand (sujet anodin : « Trans. : relations moyennables ») se glisse dans le flot des mails quotidiens. A l’ouverture du message, l’angoisse :Bertrand vient de trouver une erreur dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences que j’ai écrite avec Yves il y a... vingt-quatre ans ! En deux secondes, je comprends que Bertrand a bien vérifié ce qu’il dit avant d’envoyer son mail et qu’il a probablement raison. Mais il faudrait au moins que je trouve une copie de cet article. Je fouille mon armoire : impossible de mettre la main sur cette vieillerie qui, je le pensais, n’intéressait plus personne. Malheureusement, les articles de cette revue ne sont pas accessibles sur internet... Je descends très vite à la bibliothèque mais les volumes sont archivés lorsqu’ils ont plus de quinze ans d’âge... Bon, finalement, j’obtiens une copie de l’article. Verdict immédiat : Bertrand a raison, la preuve du théorème 2 est fausse. Angoisse confirmée... Tout le monde a horreur des erreurs mais les matheux en ont probablement encore plus peur. On aime les théorèmes corrects !

La suite ICI

Indice de développement humain et espérance de vie

2009-01-30T01:41:00.000-08:00

Nous avons abordé en statistiques l'IDH et l'espérance de vie, voilà quelques compléments.

L'IDH est un indice composite, sans unité, compris entre 0 (exécrable) et 1 (excellent), calculé par la moyenne de trois indices quantifiant respectivement :

la santé /longévité (mesurées par l'espérance de vie à la naissance), qui permet de mesurer indirectement la satisfaction des besoins matériels essentiels tels que l'accès à une alimentation saine, à l'eau potable, à un logement décent, à une bonne hygiène et aux soins médicaux. En 2002, la Division de la population des Nations Unies a pris en compte dans son estimation les impacts démographiques de l'épidémie du sida pour 53 pays, contre 45 en 2000.
le savoir ou niveau d'éducation. Il est mesuré par le taux d'alphabétisation des adultes (pourcentage des 15 ans et plus sachant écrire et comprendre aisément un texte court et simple traitant de la vie quotidienne) et le taux brut de scolarisation (mesure combinée des taux pour le primaire, le secondaire et le supérieur). Il traduit la satisfaction des besoins immatériels tels que la capacité à participer aux prises de décision sur le lieu de travail ou dans la société ;
le niveau de vie (logarithme du produit intérieur brut par habitant en parité de pouvoir d'achat), afin d'englober les éléments de la qualité de vie qui ne sont pas décrits par les deux premiers indices tels que la mobilité ou l'accès à la culture.

La suite de l'article de wikipédia : Indice de développement humain

Le classement IDH 2005 des pays

En ce qui concerne l'espérance de vie, je vous propose un article clarifiant cette notion difficile à saisir.
L’espérance de vie est un indice conjoncturel, ce n’est pas plus la prévision de l’âge moyen des décès de l’année que la durée de vie de ceux et celles qui viennent de naître !

L'article complet sur Images des mathématiques.

Estimer en mathématiques

2009-01-21T01:32:00.000-08:00

Alors que nous avons reçu la visite de jeunes élèves, les plus grands se sont prétés au jeu de l'estimation avec eux. Elle a fait, je pense, quelques adeptes dans le rang des Terminales.

Pour vous entrainer, je vous propose quelques liens:

Estimer des longueurs, des aires et des volumes

Exercer votre oeil géométrique

S'exercer au lancer de bonhomme ou de piano

Et un lien qui n'a pas grand chose à voir avec l'estimation ( à moins que vous ne vous vous fixiez des objectifs précis à atteindre) mais que j'ai trouvé original. Il s'agit de configurer un système solaire de 1 à 3 planètes entièrement paramétrable. C'est surprenant et c'est ICI.

La planche de Galton

2009-01-15T01:28:00.000-08:00

Planche de Galton animée

Une planche de Galton locale et en bois...

Micromégas et le lapidaire

2008-11-18T00:11:00.000-08:00

Sur la planète Terre, la valeur d'une pierre de Saturne est proportionnelle au carré de sa masse. Tout à l'étonnement de ses découvertes, Micromégas a cassé le beau spécimen qu'il rapportait. Le plus honnête lapidaire ne saurait désomais lui donner que 25 écus pour ses deux fragments alors qu'il pouvait en escompter 32 pour la pierre intacte.

Comment la pierre de Micromégas s'est-elle fracturée ?

Une bonne résolution commence par un problème bien posé:

Soit m la masse totale de la pierre
k le coefficient de proportionnalité entre le carré de la masse et le prix
x la masse de l'un des deux fragments

Le message d'Arecibo

2008-11-10T08:00:00.000-08:00

Si la communication des humains avec de potentiels extra-terrestres vous a toujours passioné ( passion pour le moins étonante, mais bon!!!) alors l'envoi du message d'Arecibo devrait non seulement vous intéresser mais aussi vous permettre de réviser un peu les décompositions de nombres composés en produit de facteurs premiers.

Après "décodage, voilà le joli dessin ( en noir et blanc ) envoyé vers l'amas M13 situé à 25 000 années lumière de votre domicile ( environ ).

Vous trouverez quelques explications sur le contenu de ce message sur Wikipédia et sur Astrosurf

Non-dérivabilité d'une fonction en un point

2008-11-09T09:35:00.001-08:00

Comme nous l'avons vu en cours, une fonction f est dérivable en un point a de son domaine définition si la limite suivante est un nombre réel :

Voici deux contre-exemples:

La fonction racine carrée

La fonction valeur absolue

L'alphabet grec

2008-11-03T01:28:00.000-08:00

Code Latex et nom des lettres
\\ \alpha\;\beta\;\gamma\;\delta\;\epsilon\;\eta\;\theta\;\\ \iota\; \kappa\; \lambda\; \mu\; \nu\; \xi\;\\ \o\; \pi\; \rho\; \sigma\; \tau\; \upsilon\;\\ \phi\; \chi\;\psi\; \omega

Devoir en temps libre pour les premières S

2008-10-24T10:23:00.000-07:00

dtl second degré - Upload a Document to Scribd

Prenez votre temps pour réfléchir. Vous pourrez laisser des commentaires sous cette note si vous êtes bloqué. J'y répondrai.

La box ci-après contient un fichier Geogebra de l'animation du point qui roule pour vous aider à comprendre la situation. Si vous voulez l'utiliser il faut télécharger le logiciel éducatif libre Geogebra.

Les téléchargements utiles : ICI

Entrainement calcul de primitives TES - Exercices corrigés

2008-10-22T08:00:00.000-07:00

primitives tes - Upload a Document to Scribd

Factorisation d'un polynôme de degré 3

2008-10-22T07:40:00.000-07:00

factorisation d'un polynôme de degré 3 - Upload a Document to Scribd

La modélisation en Terminale S

2008-10-15T12:37:00.000-07:00

Attention: j'avais oublié un coefficient coefficient 0,1 dans l'exponentielle du modèle de Verhulst. Corrigez-le sur votre feuille avant de faire le calcul.

quelques modèles d - Upload a Document to Scribd

séance modèle - Upload a Document to Scribd

Pour compléter:

Le mathématicien Edward Lorenz vient de mourir. Qui était-il ?

Graphique 66 page 82

2008-10-15T03:27:00.001-07:00

n66 - Upload a Document to Scribd

Correction du devoir du 6 octobre 1ères S

2008-10-13T07:52:00.000-07:00

correction du devoir surveillé du 6 octobre 2006 - Upload a Document to Scribd

Fiches d'utilisation des principales calculatrices

2008-10-13T06:46:00.000-07:00

Les fiches de Xmaths : ICI

Correction du DS 1 de TES

2008-10-04T03:58:00.000-07:00

correction du ds 1 de terminale es - Upload a Document to Scribd

Pour les passioné(e)s de Rubik's

2008-10-03T09:24:00.000-07:00

Toute la famille Rubik's et les amis de la famille sont ICI

La résolution du Rubik Cube : ICI et par un enfant en vidéo : ICI et le record du monde à une main : ICI

C'est en anglais et très complet.

Le Mégaminx, est un monstre !

La photo présentée est celle du Megaminx dont on dénombre environ 10 puissance 68 positions différentes possibles ( un 1 avec 68 zéros derrière ! ).

En terme d'ordre de grandeur qu'est-ce que cela donne ?

En moyenne une galaxie comporte 10 puissance soixante sept atomes !

Donc à chaque atome de notre galaxie, la voie lactée, nous pourrions faire correspondre 10 positions différentes de ce merveilleux jouet ou autre façon de voir la chose, il faut la totalité des atomes de 10 galaxies pour qu'à chaque position du Megaminx corresponde un atome!

On comprend mieux les ordres de grandeur lorsque c'est vu sous cet angle, non ?

Les limites en TES

2008-10-02T02:07:00.000-07:00

Un résumé complet PDF du cours de TES dont une partie sur les limites ( XM1 maths ) : ICI

Les animations ( à condition d'avoir Java installé ), en sélectionnant limites à partir du l dans le pavé de lettres en bas de la colonne de gauche : ICI

Pour s'exercer avec WIMS sur les limites de fractions rationnelles : ICI

Le cours et tout plein d'exercices corrigés sur le chapitre des limites de première ES ( Maths Cyr ) : ICI

L'extraordinaire aventure du chiffre 1

2008-10-01T03:33:00.000-07:00

Une superbe vidéo produite par la BBC avec Terry White des Monty Pythons comme commentateur, qui peut être vue en ligne ICI

Les nombres complexes

2008-10-01T03:13:00.000-07:00

L'extrait vu en cours :

L'intégralité du DVD en ligne : ICI

Nicolas Chuquet: il les voit mais ne franchit pas l'obstacle.

Dans son Triparty rédigé en 1484, Nicolas Chuquet tentant de trouver un nombre dont le triple égale son carré plus 4 découvrit que sa méthode donnait pour solutions 1.5 + racine ( -1.75) et 1.5 - racine ( -1.75).

Chuquet conclut alors qu'il n'existe pas de nombre dont le triple égale son carré plus 4, car les solutions ci-dessus sont, dit-il, "impossibles". Nous ne sommes pas loin de la découverte des nombres complexes... qui fera le succès de quelques algébristes italiens du XVIème siècle.

Comment Tartaglia présenta sa solution historique ?

Au XVIème siècle, en Italie, les mathématiciens s'affairaient à résoudre les équations du 3ème degré, saine occupation qui déchaina néanmoins les passions. Tartaglia et Cardan furent les plus célèbres acteurs d'une transmission de méthode de résolution bien difficile mais faite de façon poétique. C'est dans les vers suivants que les mathématiques firent un pas de géant :

Quando che'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numéro discrète :
Trovati dui altri différent! in esso.
Dapoi terrai, questo per consueto,
Che'l loro produtto, sempre sia eguale
Al terzo cubo délie cose netto ;
El residuo poi suo générale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
In el secondo, de cotesti atti ;
Quando che'l cubo restasse lui solo,
Tu osserverai quest' altri contratti,
Del numer farai due, tal part'a volo,
Che l'una, m l'altra, si produca schietto,
El terzo cubo délie cose in stolo ;
Délie quai poi, per commun precetto,
Torrai h lati cubi, insieme gionti,
Et cotai somma, sarà il tuo concetto ;
El terzo, poi de questi nostri conti,
Se solve col secondo, se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cmquecent'e quattro e trenta ;
Con fondamenti ben saldi e gaghardi
Nella Città del mar intorno centa.

Impressionnant n'est-ce pas ?

Pour un début de traduction : ICI

Et pour la fin du poème ça ressemble à :

Je trouvai tout ceci, et sans m'attarder
En l'an mil cinq cent trente-quatre;
Sur des fondements solides et inébranlables
Dans la Cité tout entière ceinte par la mer.

Les mésaventures d'un mathématicien à la Renaissance rédigées de façon humoristique par Jean-Marc Dewasme ( PDF ) : ICI

Littérature : Histoire des sciences en Italie depuis la renaissance des lettres jusqu'à la fin du XVIIème par Guillaume Libri : ICI

Argand et l'interprétation géométrique

L'article de Wikipédia sur Jean-Robert

Généralités sur les fonctions

2008-09-25T22:48:00.000-07:00

Ce qu'il faut savoir sur les fonctions associées : ICI

Exercices corrigés fonctions composées ( PDF ) : ICI

Les barycentres

2008-09-25T22:46:00.000-07:00

Etymologie, langue et mahématiques ICI

Un exemple d'utilisation des barycentres : les courbes de Bezier : ICI et ICI

Que faut-il savoir sur les barycentres ? ICI

Exercices WIMS sur le barycentre avec correction, barycentre de 2, 3 points, associativité, coordonnées, lieux géométriques : ICI

Recherche de lieux géométriques barycentre de 3 points ( exercices corrigés ): ICI

Exercices corrigés tous sujets : ICI

Etude d'une fonction rationnelle

2008-09-24T02:49:00.001-07:00

Un exercice interactif sur l'étude d'une fonction rationnelle par Homéomaths : ICI

Remarques:

L'étude est intéractive mais est peut-être un peu difficile pour certains en début d'année.

L'obtention de la limite en +infini se fait par factorisation des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Nous avons vu en cours la méthode accélérée en ramenant l'étude de la limite au quotient des termes de plus haut degré.

Pour la détermination du comportement asymptotique il faut faire le calcul demandé en calculant et simplifiant f(x)-(4x-17) après réduction au même dénominateur. En effet nons ne possédons qu'une seule forme pour f(x) dans cet exercice et la partie affine de l'asymptote n'apparait pas explicitement dans cette écriture.

Bon courage

Recherche de coefficients inconnus

2008-09-24T02:30:00.000-07:00

Exercice 3 ( il est corrigé ) sur l'île des maths en cliquant sur ce lien ( il faut s'inscrire ) . C'est une étude de fonction rationnelle avec détermination de coefficients.

Libri et Chasles, l'Académie des Sciences et les manuscrits

2008-09-22T07:26:00.000-07:00

Le comte Guglielmo Brutus Icilius Timeleone Libri-Carucci dalla Sommaja, dit en français Guillaume Libri ou le comte Libri, né à Florence le 1^er janvier 1803 et mort à Fiesole le 28 septembre 1869, est un mathématicien et bibliophile italien, tristement célèbre pour ses nombreux vols de livres rares.

L'article de Wikipédia

Lui succéda à l'Académie des Sciences Michel Chasles

En juillet 1857, le mathématicien présenta à l'Académie des sciences une série de lettres inédites de Pascal, que le faussaire Vrain-Lucas venait de fabriquer. Elles établissaient qu'avant Newton, l'auteur des Pensées avait découvert le principe de l'attraction universelle. Un savant anglais fit observer qu'on y trouvait des mesures astronomiques bien postérieures à la mort de Pascal. Approvisionné une nouvelle fois par Vrain-Lucas, Chasles montra alors des lettres où Galilée

communiquait à Pascal les résultats de ses observations.

Le savant anglais remarqua cette fois que dans une lettre de 1641, Galilée se plaignait de sa mauvaise vue, alors qu'il était complètement aveugle depuis près de quatre ans. Surgit alors une nouvelle lettre, postérieure à la précédente et datée de décembre 1641, dans laquelle un autre savant italien apprenait à Pascal que Galilée, dont la vue n'avait cessé de baisser, avait fini par la perdre entièrement.

Ses collègues de l'Institut prirent la chose avec bonne humeur, mais à l'étranger — à Londres en particulier — on fit des gorges chaudes du manque d'esprit critique des scientifiques français. Quant à Chasles, il se montra désespéré de s'être fait ainsi mystifier. D'autant que, comme on l'apprit plus tard, il avait acheté à Vrain-Lucas d'autres lettres, d'Alexandre le Grand à Aristote, de Jules César à Vercingétorix, de César à Cléopâtre, toutes rédigées dans un faux vieux français.

L'article de Wikipédia

Impôts : Barème par tranches 2003

2008-09-22T07:21:00.000-07:00

Réalisé avec WxGeometrie

Programme de révision pour l'interrogation de la semaine prochaine

2008-09-17T10:09:00.001-07:00

Les dérivées.
La dérivabilité et la non-dérivabilité en un point.
L'équation de tangente.
Les approximations affines.
Les études de variations.
La position relative d'une courbe et d'une droite.
Les limites de polynômes, de fonctions rationelles et de suites en l'infini.
Les suites arithmétiques et géométriques.
Les limites de fonctions rationnelles en un point.
Les fonctions trigonométriques.
Les propriétés de la fonction exponentielle vues en classe.

Programme de révision pour l'interrogation de la semaine prochaine

2008-09-17T10:09:00.000-07:00

Les fiches distribuées en cours.
Les fonctions composées.
Les fonctions associées.
Les sens de variations.

Méthode d'identification de coefficients indéterminés

2008-09-15T08:45:00.000-07:00

Méthode d'Euler - activité 2 p 85

2008-09-15T07:04:00.000-07:00

Le fichier PDF

méthode d'euler exponentielle - Upload a Document to Scribd

Micro-test 1- Résoudre une inéquation

2008-09-15T05:15:00.000-07:00